Aide-mémoire | Mathématiques — Secondaire 4 (TS)

Quel est le résultat de la division suivante :

​Simplifie l'expression algébrique suivante : ||\dfrac{x-2}{x+4} - \dfrac{3}{-3x-12}||

Quelle est l'expression algébrique simplifiée de la multiplication suivante : ||(7x + 4) (2x^2 -4x +3)||

​​Pour factoriser une même expression algébrique, on doit parfois utiliser plusieurs méthodes de factorisation. Ainsi, il est important de maitriser chacune d'entre elles tout en y associant leur forme polynomiale caractéristique.

​Forme fonctionnelle
|y = ax + b| où | a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}|

Forme générale
|0 = Ax + By + C| où |A, B, C \in \mathbb{Z}|

Avec les informations qui sont fournies dans le graphique ci-dessous, détermine l'équation de la droite sous sa forme générale.

​|y = a(bx)^2|

où |b = 1| à moins de travailler avec une mise en situation particulière.

​​Avec les informations qui sont fournies dans le tableau ci-dessous, détermine l'équation de la parabole.​

Pour la fonction polynomial de degré 2 : |a \ne \dfrac{\Delta y}{\Delta x}|

​​|f(x) = a \sqrt{bx}|

où |b=1| si la fonction est orientée vers la droite et |b=-1| si la fonction est orientée vers la gauche.

​Quelle est l'équation de la fonction suivante :

​|y = a(c)^{bx}|

où

|a:| Valeur initiale

|c:| Base (facteur multiplicatif)

|b:| Fréquence du calcul

​En 2005, la population des crapauds d'un étang s'élevait à 500. Pour différentes raisons, la population diminue de 5 % aux trois ans. Si le rythme se maintient, en quelle année y aura-t-il environ 368 crapauds?

|f(x) = a \left[ b x\right]|

où

|{\mid}a{\mid} = | Distance verticale entre deux marches

|\dfrac{1}{{\mid}b{\mid}} = | Longueur d'une marche

Pour déterminer le signe de |a| et de |b,| on s'intéressera à l'ordre des points ouverts et fermés, la croissance et la décroissance du graphique :

Dans le cadre d'un nouveau programme de récompense, une épicerie offre des timbres qui permettent d'obtenir des réductions significatives à l'achat d'articles ciblés. Pour déterminer le nombre de timbres remis à chaque client, l'épicerie utilise le graphique suivant :

À l'aide de ce graphique, détermine les montants possibles de l'achat si un client a reçu 48 timbres.

​De retour de vacance, Marie-Claude décide de se remettre en forme en faisant du vélo avec son groupe d'amies. ​Pour guider le groupe, un entraineur fait le trajet avec eux et c'est lui qui décide de la vitesse à maintenir. Afin de préparer le groupe à la prochaine séance, l'entraineur remet ce graphique à chacun des membres du groupe :

En sachant que l'entrainement consiste à répéter le même trajet pendant 45 minutes, Marie-Claude se demande pendant combien de minutes, au total, elle aura pédalé à une vitesse minimale de 16 km/h?

​Trace la réciproque de la fonction suivante :

​​​La réciproque d'une fonction ne donne pas toujours une fonction. Dans les cas étudiés ici, voici les fonctions qui sont réciproques les unes des autres :

• Les fonctions exponentielles et logarithmiques

• La fonction affine par rapport à elle-même

• La fonction de degré deux (avec un domaine restreint) et la fonction racine carrée​

​​En tant que comptable d'une grande compagnie, tu dois donner un compte rendu détaillé de l'évolution des profits au cours de la dernière année. Pour t'aider, voici le graphique des 12 derniers mois. ​

Avant de préparer ton discours de présentation et afin de bien alimenter ton argumentation, tu dois faire l'étude complète du graphique.

Au dépanneur du coin, un groupe de travailleurs achètent 4 cafés et 6 muffins pour |15{,}06\ $.| Le lendemain, ce même groupe se procure 3 cafés et 5 muffins pour une somme de |11{,}97\ $.| Si, le jour d'après, ces travailleurs veulent se procurer 6 cafés et 4 muffins, quelle somme devra être déboursée?

Au dépanneur du coin, un groupe de travailleurs achètent 4 cafés et 6 muffins pour |15{,}06\ $.| Le lendemain, ce même groupe se procure 3 cafés et 5 muffins pour une somme de |11{,}97\ $.| Si, le jour d'après, ces travailleurs veulent se procurer 6 cafés et 4 muffins, quelle somme devra être déboursée?

Au dépanneur du coin, un groupe de travailleurs achètent 4 cafés et 6 muffins pour |15{,}06\ $.| Le lendemain, ce même groupe se procure 3 cafés et 5 muffins pour une somme de |11{,}97\ $.| Si, le jour d'après, ces travailleurs veulent se procurer 6 cafés et 4 muffins, quelle somme devra être déboursée?

Quel​le est la valeur simplifiée de la racine suivante : ||\sqrt{45}||

Afin de se distinguer des autres entrepreneurs, une compagnie de construction suggère des maisons avec des toits de différentes formes. Parmi ces choix, on a la forme suivante :

Afin d'estimer les couts de production, l'entrepreneur a besoin des deux mesures extérieures manquantes de ce triangle |(\overline {AB}, \overline {BC}).| Aide-le à les déterminer.

En considérant l'angle |\theta| comme référence, on a :

|\sin \theta = \dfrac{\text{Mesure du côté opposé à }\ \theta}{\text{Mesure de l'hypoténuse}}|

|\cos \theta = \dfrac{\text{Mesure du côté adjacent à }\ \theta}{\text{Mesure de l'hypoténuse}}|

|\tan \theta = \dfrac{\text{Mesure du côté opposé à} \ \theta}{\text{Mesure du côté adjacent à} \ \theta}|

​​Afin de s'assurer de respecter les normes du bâtiment, l'angle d'élévation des fermes de toit d'une maison doit être d'un minimum de |25^\circ.| Pour s'assurer de respecter cette contrainte, un fabriquant décide d'établir cet angle à |35^\circ.| Si on sait que la longueur de la ferme de toit est de 13 mètres, quelles seront les mesures des deux autres côtés de cette pièce de bois?

​​​Afin de déterminer le trajet à suivre par un hélicoptère pour aller chercher des gens en détresse en forêt, on a triangulé la carte de la région avec l'emplacement actuel de l'hélicoptère, l'hôpital et les gens qui sont en détresse.

Selon ce dessin, quelle orientation devrait suivre l'hélicoptère pour se rendre le plus rapidement possible aux gens en détresse?

Quelle est l'aire du triangle suivant :

Dû à des problèmes de machinerie, les employés d'une compagnie de construction doivent monter eux-mêmes les fermes de toit de forme triangulaire afin de terminer la construction d'une maison. Or, ils doivent s'assurer qu'elles soient toutes identiques. 

Avec les informations fournies ci-dessus, démontre que ces deux constructions sont isométriques.

Dans le cadre d'une levée de fonds pour un organisme communautaire, la ville organise une course à pied à faire en famille. Par ailleurs, ils tiennent à ce que le trajet fait par les adultes soit semblable à celui des enfants.

En tenant compte des informations données ci-dessus, démontre que les deux trajets sont semblables.

|\text{Distance} = \sqrt{(y_2 - y_1)^2 + (x_2 - x_1)^2}|

où

|(x_1, y_1):| Coordonnées du point situé au début du segment

|(x_2, y_2):| Coordonnées du point situé à l'autre extrémité du segment

Afin de déterminer la quantité d'essence qu'un avion doit avoir dans son réservoir pour faire un vol Montréal-Paris, on représente chacune de ces deux villes sur un plan cartésien gradué en kilomètre.

Quelle est la distance, en kilomètres, entre ces deux villes?

Soit |(x,y),| les coordonnées du point de partage recherchée. ||x=x_1+ \dfrac{a}{b} (x_2-x_1)|| ||y=y_1+ \dfrac{a}{b} (y_2-y_1)||

où

|(x_1,y_1):| Coordonnées du début du segment

|(x_2,y_2):| Coordonnées de fin du segment

|\dfrac{a}{b}:| Fraction qui définit le partage du segment

À chaque matin, tu dois te rendre à l'arrêt d'autobus pour attendre ton moyen de transport qui te reconduit à ton école. Afin que l'arrêt soit centralisé pour les autres élèves du coin, tu as remarqué qu'il partageait le segment de rue qui rejoint ta maison à ton école dans un rapport |1 : 4.|​

En utilisant les informations disponibles, détermine la coordonnée de l'endroit où se situe ton arrêt d'autobus.

Il est important de bien différencier les deux types de notations utilisées pour illustrer la portion associée à un point de partage pour ensuite utiliser la notation appropriée à la formule : ||\begin{matrix}\text{Rapport}  \\ \Large{a:b} \end{matrix} \Leftrightarrow\ \begin{matrix}\text{Fraction} \\ \large\frac{a}{a+b} \end{matrix}||

Quelle est l'équation de la droite qui est parallèle à celle identifiée dans le plan cartésien ci-dessous et qui passe par le point C?

Quelle est l'équation de la droite qui est perpendiculaire à celle identifiée dans le plan cartésien ci-dessous et qui passe par le point C?​ ​

​​​​Il ne faut pas oublier les types d'événements qui ont été vus dans les années précédentes (certaines, probables, impossibles, élémentaires, complémentaires, ​​compatibles et incompatibles). 

Soit |a,| les chances pour et |b,| les chances contre, alors :

Rapport des chances pour |= a : b \Rightarrow \dfrac {a}{a+b}|

Rapport des chances contre |= b : a \Rightarrow \dfrac {b}{b+a}|
 

Ainsi, on obtient le gain net selon la proportion suivante : ||\dfrac{\text{Montant de la mise}}{\text{Gain net}} = \dfrac{\text{Nbre de chances sur lesquelles on mise}}{\text{Nbre total de chances}}||

​À l'époque de l'hippodrome de Québec, on pouvait parier sur les victoires des chevaux de course. Ainsi, chaque cheval possédait une cote qui quantifiait ses chances de gagner. Pour la dernière course, un amateur a parié |20\ $| pour la victoire dont la cote était |1:14.| Ainsi, quel était le gain potentiel de son pari?

Pour certains combats de boxe, on peut parier sur la défaite d'un boxeur. Ainsi, chaque pugiliste possède une cote qui quantifie ses chances de gagner. Pour le prochain combat, le champion a une cote de |44:1| pour sa victoire. Ainsi, quel serait le gain net d'un amateur qui parierait |10\ $| contre une victoire du champion?

|\mathbb{E} = (p_1 x_1 + p_2 x_2 + \dots + p_i x_i) - M|

où

|p_i =| Probabilité de réalisation de l'événement |i|

|x_i =| Montant associé à l'événement |i|

|M =| Montant de la mise initiale

​​​Si |\mathbb{E} = 0|, alors le jeu est équitable.
Si |\mathbb{E} < 0|, alors le jeu est défavorable au joueur.
Si |\mathbb{E} >0|, alors le jeu est favorable au joueur. ​

Dans le but de financer l'équipe de ski acrobatique de l'école, des organisateurs mettent sur un pied une activité de financement pour laquelle il est possible de gagner les prix de participations suivants :

• Un forfait de ski familial d'une fin de semaine (valeur de 800 $)

• Deux billets de saison de ski alpin (valeur de 500 $ chacun)

• Quatre paires de ski (valeur de 300 $ chacune)

• Huit billets de remontée valide pour une journée (valeur de 45 $ chacun)

En sachant qu'ils ont un total de 336 billets à vendre, quel devrait être le prix de vente d'un billet de participation au tirage?

|P(A \mid B) = \dfrac{P (A \cap B)}{P (B)}|

où |P(A) >0|

Au cours du mois précédent, les auditeurs d'une chaine de radio québécoise avaient la chance de gagner un voyage dans le domaine féérique de Walt Disney. Avant de faire le tirage au hasard du gagnant, le radiodiffuseur a dressé le portrait global des participants :

Ainsi, quelle est la probabilité que le gagnant soit père d'une famille de trois enfants en sachant qu'il s'est fait donner le billet de tirage en cadeau?

​|EM = \dfrac{\sum \mid​ x_i - \overline {x} \mid}{n}|

où

|x_i| représente chacune des données
|\sum| représente la somme
|n| représente le nombre total de données

​Lors du dernier mois, 11 maisons ont été vendues dans un même quartier pour les montants​ suivants :

|\color{blue}{156\ 700\ $},| |\color{red}{158\ 900\ $},| |159\ 000\ $,| |162\ 500\ $,| |164\ 100\ $,| |167\ 400\ $,| |172\ 000\ $,| |175\ 000\ $,| |178\ 100\ $,| |179\ 000\ $,| |183\ 000\ $.|

À des fins de statistiques pour les agents immobiliers, calcule l'écart moyen de cette distribution.

Pour un échantillon : |s= \sqrt{\dfrac{\sum(x_{i}-\overline{x})^{2}}{n-1}}|

Pour une population : |\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum(x_i-\mu)^2}{N}}|

où

|\sum| signifie qu’il faut effectuer une somme successive de plusieurs éléments.

|x_i| représente la |i^\text{e}| valeur de la distribution.

|\overline{x}| représente la moyenne de l’échantillon et |\mu,| la moyenne de la population.

|n| représente la taille de l’échantillon et |N,| la taille de la population.

Dans certains cours données à l'université, les professeurs attribuent les cotes en fonction des notes obtenues aux examens et à l'écart type de la distribution.  Ainsi, quel est l'écart type de la distribution suivante :

Depuis cinq ans, une nouvelle entreprise ne cesse d'augmenter ses profits et cherche à agrandir son centre de production. Par contre, elle veut s'assurer que la croissance économique de sa comp​agnie soit positive et fortement régulière. Pour analyser le tout, voici le recensement des revenus commerciaux des 30 dernières semaines.

À ton avis, est-ce que la croissance économique de l'entreprise est positive et fortement régulière?

Afin de faire un bilan sur la réussite des étudiants qui s'inscrivent dans les établissements d'enseignements pour adultes, les membres de la direction s'intéressent à la corrélation entre l'absentéisme aux différents cours (en heures) et la moyenne générale (en %) à la fin de l'année scolaire. Pour bien analyser le tout, ils ont regroupé les données dans un nuage de points :

​

Quel est le coefficient de corrélation de cette étude?

​​Avant de construire une nouvelle tour à condo et d'en faire l'emménagement paysager, on s'intéresse à la hauteur des arbres afin qu'ils ne cachent pas la vue aux futurs résidents pour au moins les 20 prochaines années. Pour estimer la hauteur de ces derniers, on utilise la table de valeurs suivante :

À l'aide de ces informations, détermine à quelle hauteur devrait se situer les premiers balcons afin que la vue ne soit pas obstruée par les arbres.

​Même si la situation et les données sont les mêmes, il est normal que la réponse finale varie selon la méthode utilisée (Méthode médiane-médiane ou Méthode de Mayer​).

Puisque ce sont des méthodes qui servent à estimer et non à prédire les résultats avec certitude, il se peut qu'il y ait une différence entre les deux résultats.

Avant de construire une nouvelle tour à condo et d'en faire l'emménagement paysager, on s'intéresse à la hauteur des arbres afin qu'ils ne cachent pas la vue aux futurs résidents pour au moins les 20 prochaines années. Pour estimer la hauteur de ces derniers, on utilise la table de valeurs suivante :

À l'aide de ces information, détermine à quelle hauteur devrait se situer les premiers balcons afin que la vue ne soit pas obstruée par les arbres.

​Même si la situation et les données sont les mêmes, il est normal que la réponse finale varie selon la méthode utilisée (Méthode médiane-médiane​ ou Méthode de Mayer).

Puisque ce sont des méthodes qui servent à estimer et non à prédire les résultats avec certitude, il se peut qu'il y ait une différence entre les deux résultats.