La division d'une expression algébrique par un binôme

1. Écrire les termes du dividende et du diviseur en ordre décroissant selon le degré de leurs termes.

2. Diviser les premiers termes du dividende et du diviseur ensemble.

3. Placer le résultat de cette division sous le diviseur.

4. Le multiplier avec tous les termes du diviseur.

5. Faire la différence entre le dividende et la nouvelle expression algébrique obtenue.

6. Abaisser les termes restants du dividende à la même hauteur que le résultat de la soustraction.

7. Répéter les étapes 2) à 6) jusqu'à ce que le degré du dividende soit plus petit que celui du diviseur.

8. Au besoin, écrire le reste de façon adéquate.

Soit les polynômes suivants : |(2x^2 + 2x^3y+ 4x^2y^2 + 4xy)| et |(x + 2y).|

1. Ordonner les polynômes
   
   En ordonnant les polynômes, on obtient la division suivante. 

||\begin{align} \begin{aligned}2\color{#ec0000}{x^3}\color{#3a9a38}{y}+4\color{#ec0000}{x^2}\color{#3a9a38}{y^2}+2\color{#ec0000}{x^2}+4\color{#ec0000}{x}\color{#3a9a38}{y}\\ \ \end{aligned}\ \begin{aligned}\big\vert\!\!\! \\[-2px] \ \end{aligned} \begin{aligned}\ &\color{#ec0000}{x}+2\color{#3a9a38}y\quad\\ \hline &\phantom{3x+1}\end{aligned} \end{align}||

2. Diviser les premiers termes du dividende et du diviseur ||\dfrac{2x^3y}{x}=2x^2y||

3. Écrire le résultat sous le diviseur

||\begin{align} \begin{aligned}2\color{#ec0000}{x^3}\color{#3a9a38}{y}+4\color{#ec0000}{x^2}\color{#3a9a38}{y^2}+2\color{#ec0000}{x^2}+4\color{#ec0000}{x}\color{#3a9a38}{y}\\ \ \end{aligned}\ \begin{aligned}\big\vert\!\!\! \\[-2px] \ \end{aligned} \begin{aligned}\ &\color{#ec0000}{x}+2\color{#3a9a38}y\quad\\ \hline 2&x^2y\phantom{+2x}\end{aligned} \end{align}||

4. Multiplier le résultat par chacun des termes du diviseur ||2x^2y\,(x+2y)=2x^3y+4x^2y^2||

5. Faire la différence entre le dividende et l'expression algébrique obtenue

||\begin{align} \begin{aligned}&2\color{#ec0000}{x^3}\color{#3a9a38}{y}+4\color{#ec0000}{x^2}\color{#3a9a38}{y^2}+2\color{#ec0000}{x^2}+4\color{#ec0000}{x}\color{#3a9a38}{y}\\ -(&2x^3y+4x^2y^2) \end{aligned}\ \begin{aligned}\big\vert\!\!\! \\ \ \end{aligned} \begin{aligned}\ &\color{#ec0000}{x}+2\color{#3a9a38}y\quad\\ \hline 2&x^2y\phantom{+2x}\end{aligned} \end{align}||

6. Abaisser les termes restants du dividende

||\begin{align} \begin{aligned}&\cancel{2\color{#ec0000}{x^3}\color{#3a9a38}{y}}+\cancel{4\color{#ec0000}{x^2}\color{#3a9a38}{y^2}}+2\color{#ec0000}{x^2}+4\color{#ec0000}{x}\color{#3a9a38}{y}\\ -(&\cancel{2x^3y}+\cancel{4x^2y^2})\quad \downarrow\ \ \ \quad \downarrow\\ \hline &\phantom{2x^3y+4+1x^2y^2)}2\color{#ec0000}{x^2}+4\color{#ec0000}x\color{#3a9a38}y \end{aligned}\ \begin{aligned}\big\vert\!\!\! \\[-1px] \\ \ \end{aligned} \begin{aligned}\ &\color{#ec0000}{x}+2\color{#3a9a38}y\quad\\ \hline 2&x^2y\phantom{+2x}\\ \ \end{aligned} \end{align}||

7. Répéter les étapes 2) à 6)

||\begin{align} \begin{aligned}&\cancel{2\color{#ec0000}{x^3}\color{#3a9a38}{y}}+\cancel{4\color{#ec0000}{x^2}\color{#3a9a38}{y^2}}+2\color{#ec0000}{x^2}+4\color{#ec0000}{x}\color{#3a9a38}{y}\\ -(&\cancel{2x^3y}+\cancel{4x^2y^2})\\ \hline &\phantom{2x^3y+4+1x^2y^2)}2\color{#ec0000}{x^2}+4\color{#ec0000}x\color{#3a9a38}y\\&\phantom{2x^3y+4+1x^2y^2)} 2x^2+4xy \end{aligned}\ \begin{aligned}\big\vert\!\!\! \\ \\ \\ \ \end{aligned} \begin{aligned}\ &\color{#ec0000}{x}+2\color{#3a9a38}y\quad\\ \hline 2&x^2y+2x\\ \\ \ \end{aligned} \end{align}||

||\begin{align} \begin{aligned}&\cancel{2\color{#ec0000}{x^3}\color{#3a9a38}{y}}+\cancel{4\color{#ec0000}{x^2}\color{#3a9a38}{y^2}}+2\color{#ec0000}{x^2}+4\color{#ec0000}{x}\color{#3a9a38}{y}\\ -(&\cancel{2x^3y}+\cancel{4x^2y^2})\\ \hline &\phantom{2x^3y+42x^2y^2)+}\cancel{2\color{#ec0000}{x^2}}+\cancel{4\color{#ec0000}x\color{#3a9a38}y}\\&\phantom{2x^3y+4y^2)+} -(\cancel{2x^2}+\cancel{4xy})\\ \hline &\phantom{-(2x^3y+4x^2y^2+2x^2}\,0 \end{aligned}\ \begin{aligned}\big\vert\!\!\! \\[-1px] \\ \\ \\ \\ \ \end{aligned} \begin{aligned}\ &\color{#ec0000}{x}+2\color{#3a9a38}y\quad\\ \hline 2&x^2y+2x\\ \\ \\ \\ \ \end{aligned} \end{align}||

La réponse finale est égale au quotient trouvé : |2x^2y+2x|

Soit les polynômes suivants : |(3x^2 + 7x + 1)| et |(x + 2).| Voici la démarche pour effectuer cette division.

||\begin{align} \begin{aligned}3x^2&+7x+1\\ \phantom{3x^2}&\phantom{+6x} \end{aligned}\quad\begin{aligned}\big\vert\!\!\! \\[-2px] \ \end{aligned} \begin{aligned} \quad &x+2\quad\\ \hline &\phantom{3x} \end{aligned} \end{align}||

||\begin{align} \begin{aligned}3x^2&+7x+1\\ 3x^2&+6x \end{aligned}\quad\begin{aligned}\big\vert\!\!\! \\[-2px] \ \end{aligned} \begin{aligned} \quad &x+2\quad\\ \hline 3&x \end{aligned} \end{align}||

||\begin{align} \begin{aligned}\cancel{3x^2}&+7x+1\\ -(\cancel{3x^2}&+6x)\\ \hline &\; \quad\ \ x+1 \end{aligned}\quad\begin{aligned}\big\vert\!\!\! \\[-2px] \\ \ \end{aligned} \begin{aligned} \quad &x+2\quad\\ \hline 3&x\\ \ \end{aligned} \end{align}||

||\begin{align} \begin{aligned}\cancel{3x^2}&+7x+1\\ -(\cancel{3x^2}&+6x)\\ \hline &\; \quad\ \ x+1\\ &\; \quad\ \ x+2 \end{aligned}\quad\begin{aligned}\big\vert\!\!\! \\[-2px] \\ \\ \ \end{aligned} \begin{aligned} \quad &x+2\quad\\ \hline 3&x+1\\ \ \\ \ \end{aligned} \end{align}||

||\begin{align} \begin{aligned}\cancel{3x^2}&+7x+1\\ -(\cancel{3x^2}&+6x)\\ \hline &\; \quad\ \, \cancel{x}+1\\ & -(\cancel{x}+2)\\ \hline &\qquad\ \ \ -1 \end{aligned}\quad\begin{aligned}\big\vert\!\!\! \\[-2px] \\ \\ \\ \ \end{aligned} \begin{aligned} \quad &x+2\quad\\ \hline 3&x+1\\ \ \\ \ \\ \ \end{aligned} \end{align}||

Dans l’exemple ci-dessus, il reste |-1| et il n’est plus possible de diviser |-1| par |x|.  C’est pourquoi, on arrête la division algébrique.

On peut écrire la réponse obtenue de deux façons :

|3x + 1| reste |-1|

ou

|3x + 1 + \dfrac{-1}{x + 2} = 3x + 1 - \dfrac{1}{x + 2}|

La division de deux polynômes peut aussi se faire en factorisant les polynômes afin d'éliminer les facteurs communs.